Bài 1 cho các số dương a,bc,d thỏa a+b+c+d=1 chứng minh [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\geq 64[/tex]
Bài 2 Cho a,b,c là các số không âm thỏa a+b+c chứng minh b+c[tex]\geq[/tex] 16abc
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1
Chứng minh:\(\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c} \geq \frac{3}{5}\)
Ta có: \(\frac{a}{2-a}\ge\frac{18a}{25}-\frac{1}{25}\Leftrightarrow25a\ge\left(18a-1\right)\left(2-a\right)\)
\(\Leftrightarrow-18a^2+37a-2-25a\le0\Leftrightarrow2\left(a-\frac{1}{3}\right)^2\ge0\)
Chứng minh tương tự rồi cộng lại ta được:
\(\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\ge\frac{18}{25}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{25}=\frac{3}{5}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3
Đúng 0
Bình luận (0)
Không cần giải hết ạ T^T Giải đc 1 bài là em cảm kích lắm rùiBài 1: Cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh rằng:frac{a^2}{b+c}+frac{b^2}{c+a}+frac{c^2}{a+b}geqfrac{a+b+c}{2}Bài 2:a) Cho x0, y0 thỏa mãn x^2+y^24. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:Pfrac{xy}{x+y+2}b) Cho p là số nguyên tố (p2). Chứng minh rằng số 2/p chỉ có thể biểu diễn dưới dạng duy nhất frac{2}{p}frac{1}{x}+frac{1}{y}(Trong đó x, y là các số nguyên dương phân biệt)
Đọc tiếp
Không cần giải hết ạ T^T Giải đc 1 bài là em cảm kích lắm rùi
Bài 1: Cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{a+b+c}{2}\)
Bài 2:
a) Cho x>0, y>0 thỏa mãn \(x^2+y^2=4\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{xy}{x+y+2}\)
b) Cho p là số nguyên tố (p>2). Chứng minh rằng số 2/p chỉ có thể biểu diễn dưới dạng duy nhất \(\frac{2}{p}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
(Trong đó x, y là các số nguyên dương phân biệt)
B1 :
Áp dụng bđt cosi ta có : a^2/b+c + b+c/4 >= \(2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}\) = 2. a/2 = a
Tương tự b^2/c+a + c+a/4 >= b
c^2/a+b + a+b/4 >= c
=> VT + a+b+c/2 >= a+b+c
=> VT >= a+b+c/2 = VP
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
k mk nha
Đúng 0
Bình luận (0)
30 tháng 12 2020 lúc 21:24
Câu 1: Chứng minh frac{1}{1.2}+frac{1}{2.3}+frac{1}{3.4}+...+frac{1}{(n-1)n} với ∀n∈N^*Câu 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}geq abc.Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca3. Chứng minh rằng: sqrt{a^6+b^6+1}+sqrt{b^6+c^6+1}+sqrt{c^6+a^6+1}geq 3sqrt{3}Câu 4: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c3.Chứng minh rằng: a^3+b^3+c^3geq 3Câu 5: Với a,b,c0 thỏa mãn điều kiện frac{a}{b}+frac{b}{c}+frac{c}{a}1. Chứng minh rằng: sqrtfrac{b}{a}+sqr...
Đọc tiếp
Câu 1: Chứng minh \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}\) với ∀n∈\(N^*\)
Câu 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}\geq abc\).
Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^6+b^6+1}+\sqrt{b^6+c^6+1}+\sqrt{c^6+a^6+1}\geq 3\sqrt{3}\)
Câu 4: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+c^3\geq 3\)
Câu 5: Với \(a,b,c>0\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt\frac{b}{a}+\sqrt\frac{c}{b}+\sqrt\frac{a}{c}\leq 1\)
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
Đúng 2
Bình luận (1)
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Câu 1:
\(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)
\(VT=1-\dfrac{1}{n}< 1\) (đpcm)
Đúng 1
Bình luận (0)
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c5, √a+√b+√c3. Tính giá trị biểu thức M frac{sqrt{a}}{a+2} + frac{sqrt{b}}{b+2} + frac{sqrt{c}}{c+2} - frac{4}{sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}Bài 2: Tìm các số thực xgeq 0 sao cho E frac{sqrt{x}}{xsqrt{x}-2sqrt{x}+2} nhận giá trị nguyênBài 3: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn sqrt{x}+sqrt{y-2}2 và sqrt{y+1}+sqrt{z-3}3 và sqrt{z+5}+sqrt{x+3}5Bài 4: CMR 2 sqrt{2sqrt{3sqrt{4...sqrt{2018}}}} 3 Bài 5: CMR sqrt{2sqrt[3]{3sqrt[4]{4...sqrt[2018]{2018}}}} 2
Đọc tiếp
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=5, √a+√b+√c=3. Tính giá trị biểu thức
M = \(\frac{\sqrt{a}}{a+2} + \frac{\sqrt{b}}{b+2} + \frac{\sqrt{c}}{c+2} - \frac{4}{\sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}\)
Bài 2: Tìm các số thực \(x\geq 0\) sao cho E = \(\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}\) nhận giá trị nguyên
Bài 3: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn \(\sqrt{x}+\sqrt{y-2}=2\) và \(\sqrt{y+1}+\sqrt{z-3}=3\) và \(\sqrt{z+5}+\sqrt{x+3}=5\)
Bài 4: CMR \(2 < \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2018}}}} <3\)
Bài 5: CMR \(\sqrt{2\sqrt[3]{3\sqrt[4]{4...\sqrt[2018]{2018}}}} <2 \)
Bài 2 xét x=0 => A =0
xét x>0 thì \(A=\frac{1}{x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}}\)
để A nguyên thì \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\inƯ\left(1\right)\)
=>cho \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\)bằng 1 và -1 rồi giải ra =>x=?
Đúng 0
Bình luận (0)
1,Ta có \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
=> \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\)
\(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\)
\(c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}+...\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+...=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
=> M=0
Vậy M=0
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có \(\sqrt{x}+\sqrt{y-2}=2\)=> \(\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{y-2}-1\right)=0\)
=> \(\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\frac{y-3}{\sqrt{y-2}+1}=0\left(1\right)\)
=>Tương tự với các PT còn lại
\(\frac{y-3}{\sqrt{y+1}+2}+\frac{z-4}{\sqrt{z-3}+1}=0\left(2\right)\)
\(\frac{z-4}{\sqrt{z+5}+3}+\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=0\left(3\right)\)
Ta thấy \(x=1;y=3;z=4\)là nghiệm của 3 PT
Với \(x\ne1;y\ne3;z\ne4\)
Theo nguyên lí diricle ta luôn có :
trong 3 số x-1;y-3;z-4 luôn có 2 số cùng dấu
=> 2 trong 3 PT trên vô nghiệm
Vậy x=1;y=3;z=4
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a, b, c>0 chứng minh rằng :
\(\frac{a^2}{b^3}+ \frac{b^2}{c^3}+ \frac{c^2}{a^3} \geq \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \)
cho a, b, c>0 chứng minh :
\(\frac{a^2}{b^3}+ \frac{b^2}{c^3}+ \frac{c^2}{a^3} \geq \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \)
CHo a,b,c,d>0 thỏa mãn abcd=1. CMR \(\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3}{c^2(d^2+a^2)} +\frac{c^3}{d^2(a^2+b^2)}+\frac{d^3}{a^2(b^2+c^2)} \geq 2\)
CMR: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac} + \frac{1}{3} \geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} +\frac{c}{a+b})\)
CMR:\((1+a+b+c)(1+ab+bc+ac) \geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ac)(c+ab)}\)
Cho ba số dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a+b+c=6\). Chứng minh rằng:
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+abc\geq 8\)
lớp 8 chắc mới làm quen AM-GM mà gt lại cho a+b+c=6 nếu AM-GM ra thì ngược dấu với abc nên phải loại bỏ nó bằng bổ đề \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)\) cái này là hệ quả của BĐT schur thôi nên chắc chả phải c/m :D
Đúng 0
Bình luận (0)